Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c的顶点M的坐标为（﹣1，﹣4），且与x轴交于点A，点B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
（1）填空：b= ， c= ， 直线AC的解析式为
（2）直线x=t与x轴相交于点H．
①当t=﹣3时得到直线AN（如图1），点D为直线AC下方抛物线上一点，若∠COD=∠MAN，求出此时点D的坐标；
②当﹣3＜t＜﹣1时（如图2），直线x=t与线段AC，AM和抛物线分别相交于点E，F，P．试证明线段HE，EF，FP总能组成等腰三角形；如果此等腰三角形底角的余弦值为 ，求此时t的值．

Answer 1

【答案】
（1）2；﹣3；y=﹣x﹣3
（2）

解：①设点D的坐标为（m，m2+2m﹣3），

∵∠COD=∠MAN，

∴tan∠COD=tan∠MAN，

∴ = ，

解得：m=± ，

∵﹣3＜m＜0，

∴m=﹣ ，

故点D的坐标为（﹣ ，﹣2 ）；

②设直线AM的解析式为y=mx+n，

将点A（﹣3，0）、M（﹣1，﹣4）代入，

得： ，解得： ，

∴直线AM的解析式为：y=﹣2x﹣6，

∵当x=t时，HE=﹣（﹣t﹣3）=t+3，HF=﹣（﹣2t﹣6）=2t+6，HP=﹣（t2+2t﹣3），

∴HE=EF=HF﹣HE=t+3，FP=﹣t2﹣4t﹣3，

∵HE+EF﹣FP=2（t+3）+t2+4t+3=（t+3）2＞0，

∴HE+EF＞FP，

又HE+FP＞EF，EF+FP＞HE，

∴当﹣3＜t＜﹣1时，线段HE，EF，FP总能组成等腰三角形；

由题意得： = ，即 = ，

整理得：5t2+26t+33=0，

解得：t1=﹣3，t2=﹣ ，

∵﹣3＜t＜﹣1，

∴t=﹣ ．

【解析】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c的顶点M的坐标为（﹣1，﹣4），
∴ ，解得： ，
∴抛物线解析式为：y=x2+2x﹣3，
令y=0，得：x2+2x﹣3=0，解得：x1=1，x2=﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
令x=0，得y=﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，
得： ，解得： ，
∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣3；
所以答案是：2，﹣3，y=﹣x﹣3．