Question

【题目】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形．

（1）求证：AC=CE；

（2）求证：BC2﹣AC2=ABAC；

（3）已知⊙O的半径为3．

①若=，求BC的长；

②当为何值时，ABAC的值最大？

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①BC=4；②

【解析】（1）由菱形知∠D=∠BEC，由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC，据此得证；

（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG=AC=CE=CD，证△BEF∽△BGA得，即BFBG=BEAB，将BF=BC-CF=BC-AC、BG=BC+CG=BC+AC代入可得；

（3）①设AB=5k、AC=3k，由BC2-AC2=ABAC知BC=2k，连接ED交BC于点M，Rt△DMC中由DC=AC=3k、MC=BC=k求得DM==k，可知OM=OD-DM=3-k，在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2可得答案．②设OM=d，则MD=3-d，MC2=OC2-OM2=9-d2，继而知BC2=（2MC）2=36-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=（3-d）2+9-d2，由（2）得ABAC=BC2-AC2，据此得出关于d的二次函数，利用二次函数的性质可得答案．

（1）∵四边形EBDC为菱形，

∴∠D=∠BEC，

∵四边形ABDC是圆的内接四边形，

∴∠A+∠D=180°，

又∠BEC+∠AEC=180°，

∴∠A=∠AEC，

∴AC=CE；

（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG，

由（1）知AC=CE=CD，

∴CF=CG=AC，

∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形，

∴∠G+∠AEF=180°，

又∵∠AEF+∠BEF=180°，

∴∠G=∠BEF，

∵∠EBF=∠GBA，

∴△BEF∽△BGA，

∴，即BFBG=BEAB，

∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC，

∴（BC﹣AC）（BC+AC）=ABAC，即BC2﹣AC2=ABAC；

（3）设AB=5k、AC=3k，

∵BC2﹣AC2=ABAC，

∴BC=2k，

连接ED交BC于点M，

∵四边形BDCE是菱形，

∴DE垂直平分BC，

则点E、O、M、D共线，

在Rt△DMC中，DC=AC=3k，MC=BC=k，

∴DM=，

∴OM=OD﹣DM=3﹣k，

在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2得（3﹣k）2+（k）2=32，

解得：k=或k=0（舍），

∴BC=2k=4；

②设OM=d，则MD=3﹣d，MC2=OC2﹣OM2=9﹣d2，

∴BC2=（2MC）2=36﹣4d2，

AC2=DC2=DM2+CM2=（3﹣d）2+9﹣d2，

由（2）得ABAC=BC2﹣AC2

=﹣4d2+6d+18

=﹣4（d﹣）2+，

∴当d=，即OM=时，ABAC最大，最大值为，

∴DC2=，

∴AC=DC=，

∴AB=，此时．