题目内容

【题目】中,的角平分线,于点

1)如图,连接,求证:是等边三角形;

2)点是线段上的一点(不与点重合),以为一边,在的下方作延长线于点,请你在图中画出完整图形,并直接写出之间的数量关系;

3)如图,点是线段上的一点,以为一边,在的下方作延长线于点,试探究数量之间的关系,并说明理由.

【答案】1)证明见解析;(2AD=DG+DM;(3AD=DGDN;理由见解析.

【解析】

1)如解题所示,根据直角三角形的性质可得∠ABC=60°,BC=,然后根据等角对等边可得DA=DB,再根据三线合一可得AE=BE=,从而证出结论;

2)根据题意,画出图形,延长EDW,使得DW=DM,连接WM,先证出△WDM是等边三角形,然后利用ASA证出△WMG≌△DMB,从而得出WG=DB,然后利用等量代换即可得出结论;

3)延长BDH,使得DH=DN,连接HN,先证出△NDH是等边三角形,然后利用ASA证出△DNG≌△HNB,从而得出DG=HB,然后利用等量代换即可得出结论;

1)证明:如图1所示:

RtABC,ACB=90°,A=30°,

∴∠ABC=60°,BC=

BD平分∠ABC

∴∠1=DBA=A=30°.

DA=DB

DEAB于点E

AE=BE=

BC=BE

∴△EBC是等边三角形;

2)作图如下,结论:AD=DG+DM.理由如下

延长EDW,使得DW=DM,连接WM

(1)DA=DB,A=30°.

DEAB于点E

∴∠2=3=60°.

∴∠4=2=60°,∠5=180°-∠2-∠3=60°

∴△WDM是等边三角形.

WD=DM=WM,W=WMD=60°

∴∠W =5

∴∠WMD+DMG=BMG+DMG

即∠WMG=DMB

在△WMG和△DMB

∴△WMG≌△DMB (ASA)

WG=DB

WG= DG + WD = DG + DM

DB= DG + DM

AD= DG + DM

3)结论:AD=DGDN

证明:延长BDH,使得DH=DN,连接HN

(1)DA=DB,A=30°.

DEAB于点E

∴∠2=3=60°.

∴∠4=5=60°

∴△NDH是等边三角形.

NH=ND,H=6=60°

∴∠H=2

∵∠BNG=60°

∴∠BNG+7=6+7

即∠DNG=HNB

在△DNG和△HNB

∴△DNG≌△HNB(ASA)

DG=HB

HB=HD+DB=ND+AD

DG=ND+AD

AD=DGND

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