题目内容
【题目】在中,
,
,
是
的角平分线,
于点
.
(1)如图,连接
,求证:
是等边三角形;
(2)点是线段
上的一点(不与点
重合),以
为一边,在
的下方作
,
交
延长线于点
,请你在图
中画出完整图形,并直接写出
与
之间的数量关系;
(3)如图,点
是线段
上的一点,以
为一边,在
的下方作
,
交
延长线于点
,试探究
与
数量之间的关系,并说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)AD=DG+DM;(3)AD=DGDN;理由见解析.
【解析】
(1)如解题所示,根据直角三角形的性质可得∠ABC=60°,BC=,然后根据等角对等边可得DA=DB,再根据三线合一可得AE=BE=
,从而证出结论;
(2)根据题意,画出图形,延长ED至W,使得DW=DM,连接WM,先证出△WDM是等边三角形,然后利用ASA证出△WMG≌△DMB,从而得出WG=DB,然后利用等量代换即可得出结论;
(3)延长BD至H,使得DH=DN,连接HN,先证出△NDH是等边三角形,然后利用ASA证出△DNG≌△HNB,从而得出DG=HB,然后利用等量代换即可得出结论;
(1)证明:如图1所示:
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠ABC=60°,BC=
∵BD平分∠ABC,
∴∠1=∠DBA=∠A=30°.
∴DA=DB.
∵DE⊥AB于点E.
∴AE=BE=
∴BC=BE.
∴△EBC是等边三角形;
(2)作图如下,结论:AD=DG+DM.理由如下
延长ED至W,使得DW=DM,连接WM.
由(1)得DA=DB,∠A=30°.
∵DE⊥AB于点E.
∴∠2=∠3=60°.
∴∠4=∠2=60°,∠5=180°-∠2-∠3=60°
∴△WDM是等边三角形.
∴WD=DM=WM,∠W=∠WMD=60°
∴∠W =∠5.
∴∠WMD+∠DMG=∠BMG+∠DMG
即∠WMG=∠DMB.
在△WMG和△DMB中
∴△WMG≌△DMB (ASA).
∴WG=DB.
∵WG= DG + WD = DG + DM,
∴DB= DG + DM.
∴AD= DG + DM.
(3)结论:AD=DGDN.
证明:延长BD至H,使得DH=DN,连接HN.
由(1)得DA=DB,∠A=30°.
∵DE⊥AB于点E.
∴∠2=∠3=60°.
∴∠4=∠5=60°
∴△NDH是等边三角形.
∴NH=ND,∠H=∠6=60°
∴∠H=∠2.
∵∠BNG=60°
∴∠BNG+∠7=∠6+∠7
即∠DNG=∠HNB.
在△DNG和△HNB中
∴△DNG≌△HNB(ASA).
∴DG=HB.
∵HB=HD+DB=ND+AD,
∴DG=ND+AD.
∴AD=DGND.
