题目内容
【题目】已知：△ABC内接于⊙O，连接CO并延长交AB于点E，交⊙O于点D，满足∠BEC＝3∠ACD．
（1）如图1，求证：AB＝AC；
（2）如图2，连接BD，点F为弧BD上一点，连接CF，弧CF＝弧BD，过点A作AG⊥CD，垂足为点G，求证：CF+DG＝CG；
（3）如图3，在（2）的条件下，点H为AC上一点，分别连接DH，OH，OH⊥DH，过点C作CP⊥AC，交⊙O于点P，OH：CP＝1：
，CF＝12，连接PF，求PF的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
（1）连接AD．设∠BEC＝3α，∠ACD＝α，利用等量代换得出∠ABC＝∠ACB，最后进一步证明结论即可；
（2）连接AD，在CD上取一点Z，使得CZ＝BD，通过证明△ADB≌△AZC得出AD＝AZ，然后进一步证明即可；
（3）连接AD，PA，作OK⊥AC于K，OR⊥PC于R，CT⊥FP交FP的延长线于T，利用三角函数以及勾股定理进一步求解即可.
（1）证明：如图1中，连接AD．设∠BEC＝3α，∠ACD＝α．
∵∠BEC＝∠BAC+∠ACD，
∴∠BAC＝2α，
∵CD是直径，
∴∠DAC＝90°，
∴∠D＝90°﹣α，
∴∠B＝∠D＝90°﹣α，
∵∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α．
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）证明：如图2中，连接AD，在CD上取一点Z，使得CZ＝BD．
∵弧BD=弧CF，
∴DB＝CF，
∵∠DBA＝∠DCA，CZ＝BD，AB＝AC，
∴△ADB≌△AZC（SAS），
∴AD＝AZ，
∵AG⊥DZ，
∴DG＝GZ，
∴CG＝CZ+GZ＝BD+DG＝CF+DG．
（3）连接AD，PA，作OK⊥AC于K，OR⊥PC于R，CT⊥FP交FP的延长线于T．
∵CP⊥AC，
∴∠ACP＝90°，
∴PA是直径，
∵OR⊥PC，OK⊥AC，
∴PR＝RC，∠ORC＝∠OKC＝∠ACP＝90°，
∴四边形OKCR是矩形，
∴RC＝OK，
∵OH：PC＝1：
，
∴设OH＝a，PC＝2a，
∴PR＝RC＝a，
∴RC＝OK＝a，sin∠OHK＝
，
∴∠OHK＝45°，
∵OH⊥DH，
∴∠DHO＝90°，
∴∠DHA＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∵CD是直径，
∴∠DAC＝90°，
∴∠ADH＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DHA＝∠ADH，
∴AD＝AH，
∵∠COP＝∠AOD，
∴AD＝PC，
∴AH＝AD＝PC＝2a，
∴AK＝AH+HK＝2a+a＝3a，
在Rt△AOK中，tan∠OAK＝
，OA＝
=
，
∴sin∠OAK＝
，
∵∠ADG+∠DAG＝90°，∠ACD+∠ADG＝90°，
∴∠DAG＝∠ACD，
∵AO＝CO，
∴∠OAK＝∠ACO，
∴∠DAG＝∠ACO＝∠OAK，
∴tan∠ACD＝tan∠DAG＝tan∠OAK＝
，
∴AG＝3DG，CG＝3AG，
∴CG＝9DG，
由（2）可知，CG＝DG+CF，
∴DG+12＝9DG，
∴DG＝
，AG＝3DG＝3×＝
，
∴AD＝
，
∴PC＝AD＝
，
∵sin∠F＝sin∠OAK，
∴sin∠F＝
，
∴CT＝
＝
×12＝
，FT＝
，PT＝
，
∴PF＝FT﹣PT＝
﹣
＝
．
