Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．
（1）当∠B=30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；
（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；
（3）若tan∠BPD=

1

3

，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）当∠B=30°时，∠A=60°，此时△ADE是等边三角形，则∠PEC=∠AED=60°，由此可证得∠P=∠B=30°；若△AEP与△BDP相似，那么∠EAP=∠EPA=∠B=∠P=30°，此时EP=EA=1，即可在Rt△PEC中求得CE的长；
（2）若BD=BC，可在Rt△ABC中，由勾股定理求得BD、BC的长；过C作CF∥DP交AB于F，易证得△ADE∽△AFC，根据得到的比例线段可求出DF的长；进而可通过证△BCF∽△BPD，根据相似三角形的对应边成比例求得BP、BC的比例关系，进而求出BP、CP的长；在Rt△CEP中，根据求得的CP的长及已知的CE的长即可得到∠BPD的正切值；
（3）过点D作DQ⊥AC于Q，可用未知数表示出QE的长，根据∠BPD（即∠EDQ）的正切值即可求出DQ的长；在Rt△ADQ中，可用QE表示出AQ的长，由勾股定理即可求得EQ、DQ、AQ的长；易证得△ADQ∽△ABC，根据得到的比例线段可求出BD、BC的表达式，进而可根据三角形周长的计算方法得到y、x的函数关系式．

解答：解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠BAC=60°．
∵AD=AE，
∴∠AED=∠CEP=60°，
∴∠EPC=30°．
∴△BDP为等腰三角形．
∵△AEP与△BDP相似，
∴∠EPA=∠DPB=30°，
∴AE=EP=1．
∴在Rt△ECP中，EC=

1

2

EP=

1

2

；

（2）设BD=BC=x．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得：
（x+1）²=x²+（2+1）²，
解之得x=4，即BC=4．
过点C作CF∥DP．
∴△ADE与△AFC相似，
∴

AE

AC

=

AD

AF

，即AF=AC，即DF=EC=2，
∴BF=DF=2．
∵△BFC与△BDP相似，
∴

BF

BD

=

BC

BP

=

2

4

=

1

2

，即：BC=CP=4．
∴tan∠BPD=

EC

CP

=

2

4

=

1

2

．

（3）过D点作DQ⊥AC于点Q．
则△DQE与△PCE相似，设AQ=a，则QE=1-a．
∴

QE

EC

=

DQ

CP

且tan∠BPD=

1

3

，
∴DQ=3（1-a）．
∵在Rt△ADQ中，据勾股定理得：AD²=AQ²+DQ²
即：1²=a²+[3（1-a）]²，
解之得a=1(舍去)，a=

4

5

．
∵△ADQ与△ABC相似，
∴

AD

AB

=

DQ

BC

=

AQ

AC

=

4 5

1+x

=

4

5+5x

．
∴AB=

5+5x

4

，BC=

3+3x

4

．
∴△ABC的周长y=AB+BC+AC=

5+5x

4

+

3+3x

4

+1+x=3+3x，
即：y=3+3x，其中x＞0．

点评：此题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识的综合应用能力，难度较大．