题目内容
【题目】数学活动
问题情境：
如图1，在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D，E分别是边AB，AC的中点，将ADE绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜90°)得到AD′E′，连接CE′，BD′.探究CE′与BD′的数量关系；
图1 
图2 
图3 
图4
探究发现：
(1)图1中，CE′与BD′的数量关系是________；
(2)如图2，若将问题中的条件“D，E分别是边AB，AC的中点”改为“D为AB边上任意一点，DE∥BC交AC于点E”，其他条件不变，(1)中CE′与BD′的数量关系还成立吗？请说明理由；
拓展延伸：
(3)如图3，在(2)的条件下，连接BE′，CD′，分别取BC，CD′，E′D′，BE′的中点F，G，H，I，顺次连接F，G，H，I得到四边形FGHI.请判断四边形FGHI的形状，并说明理由；
(4)如图4，在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，将ADE绕点A顺时针旋转60°得到AD′E′，连接CE′，BD′.请你仔细观察，提出一个你最关心的数学问题(例如：CE′与BD′相等吗？)．
【答案】CE′＝BD′
【解析】试题分析：（1）先证明AD=AE，再根据旋转得到∠BAD′＝∠CAE′＝α，AD′＝AE′，证明△ABD′≌△ACE′，根据全等三角形的对应边相等即可得；
（2）类比（1）的方法先证明AD=AE，然后再证明△ABD′≌△ACE′，根据全等三角形的性质即可得；
（3）先证明四边形FGHI是平行四边形，再证明四边形FGHI是菱形， 延长CE交BD′于点M，由（2）得△ABD′≌△ACE′, 从而推导可得∠CBM+∠BCM=90°，进而可推导得到∠IFG＝90°，从而得四边形FGHI是正方形；
（4）答案不唯一，只要符合题意即可.
试题解析：(1) ∵D、E分别为AB、AC的中点，∴AD=
AB，AE=
AC，
∵AB＝AC，∴AD＝AE，
∵△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜90°)，得到△AD′E′，
∴∠BAD′＝∠CAE′＝α，AD′＝AE′，
在△ABD′和△ACE′中
，
∴△ABD′≌△ACE′，
∴CE′＝BD′，
故答案为：CE′＝BD′；
(2)CE′与BD′的数量关系还成立，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB.
∴∠ADE＝∠AED，∴ AD＝AE，
∵△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜90°)，得到△AD′E′，
∴∠BAD′＝∠CAE′＝α，AD′＝AE′，
在△ABD′和△ACE′中
，
∴ △ABD′≌△ACE′，
∴ CE′＝BD′；
(3)四边形FGHI是正方形，
∵F，G，H，I分别是BC，CD′，E′D′，BE′的中点，
∴FG＝HI＝
BD′，IF＝HG＝
CE′.
∴四边形FGHI是平行四边形，
又∵BD′＝CE′，∴FG＝IF，
∴四边形FGHI是菱形，
延长CE交BD‘于点M，如图，
由（2）得△ABD′≌△ACE′,
∴∠ACE′=∠ABD′，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACE′+∠ABC+∠BCM=90°，
∴∠ABD′+∠ABC+∠BCM=90°，
∴∠CBM+∠BCM=90°，
又∵FG∥BD′，IF∥CE′，
∴∠CFG＝∠CBM，∠BFI＝∠BCM，
∴∠CFG＋∠BFI＝90°，∴∠IFG＝90°，
∴四边形FGHI是正方形；
(4)答案不唯一，如：①△ABD′和△ACE′全等吗？
②△BDD′和△CEE′全等吗？
③∠BD′D和∠CE′E相等吗？
④四边形AD′DE是菱形吗？，
