题目内容

“在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 $数学公式$ 、 $数学公式$ 、 $数学公式$ ，求这个三角形的面积．”小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．
（1）直接写出图①中△ABC的面积；
（2）若△DEF三边的长分别为 $数学公式$ 、 $数学公式$ 、 $数学公式$ （a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△DEF，并直接写出它的面积．
（3）若△MNP三边的长分别为 $数学公式$ 、 $数学公式$ 、 $数学公式$ （m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出△MNP的面积．

解：（1）由图可知S_△ABC=3×3-1×2÷2-1×3÷2-2×3÷2= $\text{[math]}$ ；

（2）如图1：
S_△DEF=2a×4a- $\text{[math]}$ a×2a- $\text{[math]}$ ×2a×2a- $\text{[math]}$ =3a²；

（3）解：构造△MNP如图2所示，
S_△MNP=3m×4n- $\text{[math]}$ m×4n- $\text{[math]}$ ×3m×2n- $\text{[math]}$ ×2m×2n
=5mn．
分析：（1）△ABC的面积=3×3-1×2÷2-1×3÷2-2×3÷2= $\text{[math]}$ ；
（2） $\text{[math]}$ a是直角边长为a，2a的直角三角形的斜边； $\text{[math]}$ a是直角边长为2a，2a的直角三角形的斜边； $\text{[math]}$ a是直角边长为a，4a的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；
（3）结合（1），（2）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积．
点评：本题考查的是勾股定理，此题属开放性的探索问题，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．