Question

【题目】如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D．连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）图中线段AD、BD和围成的阴影部分的面积＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OB，交CA于E，，根据圆周角定理求出∠BOA＝60°，根据∠BCA＝∠OAC＝30°和三角形内角和定理求出∠AEO＝90°，即OB⊥AC，根据BD∥AC，得到∠DBE＝∠AEO＝90°，可得BD是⊙O的切线；
（2）根据平行线的性质得到∠D=30°，解直角三角形求出BD，分别求出△BOD的面积和扇形AOB的面积，即可得出答案．

（1）证明：如图示，连接OB，交CA于E，

∵∠C＝30°，∠C＝∠BOA，

∴∠BOA＝60°，

∵∠BCA＝∠OAC＝30°，

∴∠AEO＝90°，

即OB⊥AC，

∵BD∥AC，

∴∠DBE＝∠AEO＝90°，

∴BD是⊙O的切线；

（2）解：∵AC∥BD，∠OCA＝90°，

∴∠D＝∠CAO＝30°，

∵∠OBD＝90°，OB＝8，

∴BD＝OB＝8，

∴S阴影＝S△BDO﹣S扇形AOB＝×8×8﹣＝32﹣，

故答案为：．