Question

如图(1),在△ABC中,AB=BC,P为AB边上一点,连接CP,以PA、PC为邻边作APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC=∠AEP=(0°<<90°).
(1)求证: ∠EAP=∠EPA;
(2) APCD是否为矩形?请说明理由;
(3)如图(2),F为BC中点,连接FP,将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到∠MEN(点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点).猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论.

Answer 1

证明：(1)在△ABC和△AEP中,
 ∠ABC=∠AEP,∠BAC=∠EAP,
∠ACB=∠APE,
在△ABC中,AB=BC.∠ACB=∠BAC,
∠EPA=∠EAP,
(2) APCD是矩形.
  四边形APCD是平行四边形,
  AC=2EA,PD=2EP.
由(1)知, ∠EPA=∠EAP.
EA=EP，进而AC=PD
 APCD是矩形.
(3)EM=EN
 EA=EP, ∠EPA=90° -
∠EAM=180°-∠EAP =180°-∠EPA= 180°-(90°-)=90°+
由(2)知, ∠CPB=90°,F是BC的中点,  FP=FB,
 ∠FPB=∠ABC=，
 ∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90° - +=90°+
 ∠EAM=∠EPN
∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN，
 ∠AEP-∠AEN =∠MEN-∠AEN,即∠MEA=∠NEP.
 △EAM≌△EPN,
 EM=EN.

（1）根据AB=BC可证∠CAB=∠ACB，则在△ABC与△AEP中，有两个角对应相等，根据三角形内角和定理，即可证得；
（2）由（1）知∠EPA=∠EAP，则AC=DP，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可求证；
（3）可以证明△EAM≌△EPN，从而得到EM=EN．