Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，点A、点C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（10，4）．若点D为OA的中点，点P为边BC上的一动点，则△OPD为等腰三角形时的点P的坐标为______．

Answer 1

∵B的坐标是（10，4），四边形OCBA是矩形，
∴OC=AB=4，
∵D为OA中点，
∴OD=AD=5，
∵P在BC上，
∴P点的纵坐标是4，
①
以O为圆心，以OD为半径作弧，交BC于P，此时OP=OD=5，由勾股定理求出CP=

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=3，即P的坐标是（3，4）；
②
以D为圆心，以OD为半径作弧，交BC于P、P′，此时DP=OD=DP′=5，
由勾股定理求出DM=DN=

52-42

=3，即P的坐标是（2，4），P′的坐标是（8，4）；
③作OD的垂直平分线交BC于P，此时OP=DP，

P的坐标是（

5

2

，4）；
故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）或（

5

2

，4）．