Question

已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，FE∶FD＝4∶3．

(1)求证：AF＝DF；

(2)求∠AED的余弦值；

(3)如果BD＝10，求△ABC的面积．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(1)证明：∵AD平分∠BAC 　　∴∠BAD＝∠DAC 　　∵∠D＝∠CAE 　　∴∠BAD＋∠B＝∠DAC＋∠CAE 　　∵∠ADE＝∠BAD＋∠B 　　∴∠ADE＝∠DAC＋∠CAE 　　即∠ADE＝∠DAE 　　∴EA＝ED 　　∵DE是半圆C的直径 　　∴∠DFE＝ 　　∴AF＝DF 　　(2)解：连结DM 　　∴DE是半圆C的直径 　　∴∠DME＝ 　　∵FE∶FD＝4∶3 　　∴可设FE＝4x，则FD＝3x，由勾股定理，得DE＝ 　　＝＝＝＝5x 　　∴AE＝DE＝5x，AF＝FD＝3x 　　由切割线定理的推论，得AF·AD＝AM·AE 　　∴3x(3x＋3x)＝AM·5x 　　3x·6x＝AM·5x 　　18x2＝AM·5x 　　∴AM＝x 　　∴ME＝AE－AM＝5x－x＝x 　　在Rt△DME中 　　cos∠AED＝＝＝ 　　(3)解：过A点作AN⊥BE于N 　　由cos∠AED＝ 　　得sin∠AED＝＝＝ 　　在Rt△AME中 　　∵sin∠AED＝ 　　∴AN＝sin∠AED·AE＝·5x＝x 　　在△CAE与△ABE中 　　∵∠CAE＝∠B，∠AEC＝∠BEA 　　∴△CAE∽△ABE 　　∴＝ 　　∴AE2＝BE·CE 　　∴(5x)2＝(10＋5x)·x 　　25x2＝25x＋x2 　　50x2＝50x＋25x2 　　25x2＝50x 　　解得x＝2 　　∴AN＝x＝×2＝ 　　BC＝BD＋DC＝10＋x＝10＋·2＝10＋5＝15 　　∴S△ABC＝BC·AN＝×15×＝72 　　解法二： 　　(1)证明：同解法(1) 　　(2)解：过A点作AN⊥BE于N 　　在Rt△DFE中， 　　∵FE∶FD＝4∶3 　　∴可设FE＝4x，则FD＝3x 　　由勾股定理，得DE＝＝＝＝＝5x 　　∴AE＝DE＝5x，AF＝FD＝3x 　　∵S△ADE＝AD·EF＝DE·AN 　　∴AD·EF＝DE·AN 　　∴(3x＋3x)·4x＝5x·AN 　　6x·4x＝5x·AN 　　24x2＝5x·AN 　　∴AN＝x 　　∴由勾股定理得 　　EN＝＝＝＝＝x 　　∴cos∠AED＝＝＝ 　　(3)解：在△CAE和△ABE中 　　∵∠CAE＝∠B，∠AEC＝∠BEA 　　∴△CAE∽△ABE 　　∴＝ 　　∴AE2＝BE·CE 　　∴(5x)2＝(10＋5x)·x 　　25x2＝25x＋x2 　　50x2＝50x＋25x2 　　25x2＝50x 　　解得x＝2 　　∴AN＝x＝ 　　BC＝BD＋DC＝10＋x＝10＋·2 　　＝10＋5＝15 　　∴S△ABC＝BC·AN＝×15×＝72

提示：

由已知条件“AD为∠BAC的平分线”及“∠B＝∠CAE”，易证出∠ADE＝∠DAE，从而得出EA＝ED，再由“DE是半圆C的半径”得知∠DFE＝．根据等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合，得出AF＝DF．第(2)小问求∠AED的余弦值．因“FE∶FD＝4∶3”，即可根据勾股定理求出DE，再由切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等，求出AM，进而求出∠AED的余弦值．第(3)小问条件又强化了，BD＝10．根据一个角的正余弦值的平方和为1，由∠AED的余弦值，求出∠AED的正弦值，再由相似三角形的判定得出△CAE∽△ABE．根据相似三角形边对应相等的法则求出AE，进而求得AN、DC，计算出△ABC的面积．该题的三个小问题紧密相连，其中前一个小问题的结论又变成了后一个小问题的条件，要顺利完整地解答此题，必须对三角形、圆的概念及性质有一个清晰的认识．