Question

【题目】一次函数分别与轴、轴交于点、.顶点为的抛物线经过点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点为第一象限抛物线上一动点.设点的横坐标为，的面积为.当为何值时，的值最大，并求的最大值；

（3）在（2）的结论下，若点在轴上，为直角三角形，请直接写出点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，的值最大，最大值为；（3）、、或

【解析】

（1）设抛物线的解析式为，代入点的坐标即可求解；

（2）连接，可得点，根据一次函数得出点、的坐标，然后利用三角形面积公式得出的表达式，利用二次函数的表达式即可求解；

（3）①当为直角边时，过点和点做垂线交轴于点和点，过点的垂线交轴于点，得出，再利用等腰直角三角形和坐标即可求解；②当为斜边时，设的中点为，以为圆心为直径做圆于轴于点和点，过点作轴，先得出和的值，再求出的值即可求解.

解：（1）一次函数与轴交于点，则的坐标为.

抛物线的顶点为，

设抛物线解析式为.

抛物线经过点，

.

.

抛物线解析式为；

（2）解法一：连接.

点为第一象限抛物线上一动点.点的横坐标为，

.

一次函数与轴交于点.则，

的坐标为，

.

，

，

.

.

当时，的值最大，最大值为；

解法二：作轴，交于点.

的坐标为，.

点为第一象限抛物线上一动点.点的横坐标为，

，.

.

.

当时，的值最大，最大值为；

解法三：作轴，交于点.

一次函数与轴交于点.则，

点为第一象限抛物线上一动点.点的横坐标为，

.

把代入，解得，

.

.

当时，的值最大，最大值为；

解法四：构造矩形.（或构造梯形）

一次函数与轴交于点.则，

的坐标为，.

点为第一象限抛物线上一动点.点的横坐标为，

设点的纵坐标为，，

，，，，，.

.

当时，的值最大，最大值为；

（3）由（2）易得点的坐标为，

①当为直角边时，过点和点做垂线交轴于点和点，过点的垂线交轴于点，如下图所示：

由点和点的坐标可知：

∴

∴

∴点的坐标为

由题可知：

∴

∴点的坐标为；

②当为斜边时，设的中点为，以为圆心为直径做圆于轴于点和点，过点作轴，如下图所示：

由点和点的坐标可得点的坐标是

∴，

∴

∴点的坐标为，点的坐标为

根据圆周角定理即可知道

∴点和点符合要求

∴综上所述点的坐标为、、或.