Question

【题目】已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm．动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）t为何值时，△PBQ是等边三角形？

（2）P，Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为何值时，△PBQ是直角三角形？说明理由．

Answer 1

【答案】（1）12；（2）当t为9或 时，△PBQ是直角三角形，

【解析】

（1）要使△PBQ是等边三角形，则：PB=BQ，用含的代数式表示出PB=36﹣2t，BQ=t，列出方程求解即可.

（2）根据△PBQ是直角三角形，得到BP=2BQ或BQ=2BP，分别求解即可.

（1）要使△PBQ是等边三角形，则：PB=BQ，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm．

∴AB=36cm，

可得：PB=36﹣2t，BQ=t，

即36﹣2t=t，

解得：t=12

故答案为；12

（2）当t为9或时，△PBQ是直角三角形，

理由如下：

∵∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm

∴AB=2BC=18×2=36（cm）

∵动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度出发

∴BP=AB﹣AP=36﹣2t，BQ=t

∵△PBQ是直角三角形

∴BP=2BQ或BQ=2BP

当BP=2BQ时，

36﹣2t=2t

解得t=9

当BQ=2BP时，

t=2（36﹣2t）

解得

所以，当t为9或时，△PBQ是直角三角形．