Question

【题目】如图1，在菱形中，对角线与相交于点，，，在菱形的外部以为边作等边三角形．点是对角线上一动点（点不与点重合），将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接．

（1）线段的长为__________；

（2）如图2，当点在线段上，且点，，三点在同一条直线上时，求证：；

（3）连接．若的周长为，请直接写出的面积．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）证明见解析；（3）25.

【解析】

（1）在RT△OAB中，利用勾股定理求解即可；

（2）由四边形ABCD是菱形，求出△AFM为等边三角形，∠M=∠AFM=60°，再求出∠MAC=90°，在Rt△ACM中利用tan∠M，求出AC；

（3）求出△AEM≌△ABF，利用△AFM的周长求出边长，然后根据勾股定理得出OF，即可得出BF，进而得出△ABF的面积，即可得出的面积.

（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OB=OD=BD，

∵BD=24，

∴OB=12，

在Rt△OAB中，

∵AB=13，

∴OA=；

（2）如图2，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BD垂直平分AC，

∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，

由已知AF=AM，∠MAF=60°，

∴△AFM为等边三角形，

∴∠M=∠AFM=60°，

∵点M，F，C三点在同一条直线上，

∴∠FAC+∠FCA=∠AFM=60°，

∴∠FAC=∠FCA=30°，

∴∠MAC=∠MAF+∠FAC=60°+30°=90°，

在Rt△ACM中
∵tan∠M=，

∴tan60°=，

∴；

（3）如图，连接EM，

∵△ABE是等边三角形，

∴AE=AB，∠EAB=60°，

由（2）知△AFM为等边三角形，

∴AM=AF，∠MAF=60°，

∴∠EAM=∠BAF，

在△AEM和△ABF中，

，

∴△AEM≌△ABF（SAS），

∵的周长为，

∴AM=AF=MF==

∴

∴BF=BO-FO=12-2=10

∴

即的面积为25.