题目内容
【题目】已知抛物线y＝x2+（1﹣2a）x﹣2a（a是常数）．
（1）证明：该抛物线与x轴总有交点；
（2）设该抛物线与x轴的一个交点为A（m，0），若2＜m≤5，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若a为整数，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象G，请你结合新图象，探究直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点个数的情况．
【答案】（1）见解析；（2）1＜a≤
；（3）新图象G公共点有2个．
【解析】
（1）令抛物线的y值等于0，证所得方程的△＞0即可；
（2）将点A坐标代入可求m的值，即可求a的取值范围；
（3）分k＞0和k＜0两种情况讨论，结合图象可求解．
解：（1）设y＝0，则0＝x2+（1﹣2a）x﹣2a，
∵△＝（1﹣2a）2﹣4×1×（﹣2a）＝（1+2a）2≥0，
∴x2+（1﹣2a）x﹣2a＝0有实数根，
∴该抛物线与x轴总有交点；
（2）∵抛物线与x轴的一个交点为A（m，0），
∴0＝m2+（1﹣2a）m﹣2a，
∴m＝﹣1，m＝2a，
∵2＜m≤5，
∴2＜2a≤5，
∴1＜a≤；
（3）∵1＜a≤，且a为整数，
∴a＝2，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣3x﹣4，
如图，当k＞0时，
若y＝kx+1过点（﹣1，0）时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有3个，
即k＝1，
当0＜k＜1时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有4个，
当k＞1时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有2个，
如图，当k＜0时，
若y＝kx+1过点（4，0）时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有3个，
即k＝﹣
，
当﹣＜k＜0时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有4个，
当k＜﹣时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有2个，
