Question

【题目】在平面直角坐标中，抛物线过点，点是直线上方抛物线上的一动点，轴，交直线于点，连接，交直线于点．

在如下坐标系作出该抛物线简图，并求抛物线的函数表达式；

当时，求点的坐标；

求线段的最大值：

当线段最大时，若点在直线上且，直接写出点的坐标．

Answer 1

【答案】（1），图象详见解析；（2）或；（3）当时，的值最大为；（4）的坐标为或

【解析】

（1）由于抛物线与x轴的两个交点坐标已知，可把抛物线的解析式设成交点式，再代入另一已知点坐标便可求出解析式；

（2）过A作EF⊥x轴，与BC相交于点F，用待定系数法求出BC的解析式，设P点的横坐标为t，进而求得AF与PE，由相似三角形的比例线段求得t便可；

（3）根据PE关于t的函数解析式，由函数的性质求出其最大值便可；

（4）分两种情况：①当F点在PE的左边时，过点P作PM⊥BC于点M，过E作EN⊥x轴于点N，过点F作FQ⊥x轴于点Q，过点O作OG⊥AC于点G，取AC的中点H，连接OH，通过三角形相似求出MF的值便可；②将求得的F点坐标，关于PM对称点便是另一F点．

设抛物线的解析式为：，

则

，

抛物线的解析式为：，

即

简图如下：

过作轴，与相交于点，如图1，设，

则，

设的解析式为，

则

解得

直线的解析式为：

，

，

，

，

解得，或，

或；

的解析式为：，

当时，的值最大为；

当点在的左边时，

过点作于点，过作轴于点过点作轴于点，过点作于点，取的中点，连接，

由知，当取最大值时，

，

,

，

∵是Rt△AOC斜边上的中线，，

∵×OA×OC=×AC×OG

∴

，，

，

，

即

当点在的右边时，

此时的点恰好与关于对称，

∵，直线的解析式为：

可设直线PM的解析式为：y=x+n

把代入得，解得n=

∴直线PM的解析式为：y=x+

联立，解得

设F’（p,q）

则，解得

∴

故的坐标为或．