题目内容
【题目】如图,AB 是⊙O 的一条弦,C 是 AB 的中点,过点 C 作直线垂直于OA 于点 D,交过点 B 的⊙O 的切线于点 E.
(1)求证:BE=CE;
(2)若⊙O 的半径长为 8,AB=12,求 BE 的长.
【答案】(1)见解析;(2)BE=4.
【解析】
(1)欲证明BE=CE,只要证明∠ECB=∠EBC;
(2)作EF⊥AB于F,连接OC.根据cos∠ECF=cos∠AOC==
=
,计算即可;
(1)证明:结论:△EBC 是等腰三角形; 理由∵AO=OB,
∴∠OAB=∠OBA,
∵BE 是切线,
∴OB⊥BE,
∴∠OBE=90°,
∴∠OBC+∠CBE=90°,
∵CD⊥OA,
∴∠CAD+∠ACD=90°,
∵∠ACD=∠ECB,
∴∠CBE=∠ECB,
∴EC=EB,
(2)解:作 EF⊥AB 于 F,连接 OC.
∵EC=EB,AC=CB=6,
∴BF=CF= BC=3,OC⊥AB,
∵∠AOC+∠A=90°,∠ECF+∠A=90°,
∴∠AOC=∠ECF=∠EBF,
∴cos∠ECF=cos∠AOC= =
=
,
∴BE=4.

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