题目内容
【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC于D,过点D作DE⊥AD交AB于点E,以AE为直径作⊙O
(1)求证:点D在⊙O上;
(2)求证:BC是⊙O的切线;
(3)若AC=6,BC=8,求BE的长度.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)BE=.
【解析】
(1)连接OD,由DO为直角三角形斜边上的中线,得到OD=OA=OE,可得出点D在圆O上;
(2)由AD为角平分线,得到一对角相等,再由OD=OA,利用等边对等角得到一对角相等,等量代换得到一对内错角相等,利用内错角相等两直线平行得到OD与AC平行,根据两直线平行同位角相等即可得到∠ODB为直角,即BC与OD垂直,即可确定出BC为圆O的切线;
(3)过E作EH垂直于BC,由OD与AC平行,得到△ACB与△ODB相似,设OD=OA=OE=x,表示出OB,由相似得比例列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,确定出OD与BE的长.
(1)连接OD,
∵△ADE是直角三角形,OA=OE,
∴OD=OA=OE,
∴点D在⊙O上;
(2)∵AD是∠BAC的角平分线,
∴∠CAD=∠DAB,
∵OD=OA,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠CAD=∠ODA,
∴AC∥OD,
∴∠C=∠ODB=90°,
∴BC是⊙O的切线;
(3)在Rt△ACB中,AC=6,BC=8,
∴根据勾股定理得:AB=10,
设OD=OA=OE=x,则OB=10﹣x,
∵AC∥OD,△ACB∽△ODB,
∴,
∴OD=,
解得:x=,
∴OD=,BE=10﹣2x=10﹣
=
.

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