题目内容

【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC于D,过点D作DE⊥AD交AB于点E,以AE为直径作⊙O

(1)求证:点D在⊙O上;

(2)求证:BC是⊙O的切线;

(3)若AC=6,BC=8,求BE的长度.

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)BE=

【解析】

(1)连接OD,由DO为直角三角形斜边上的中线,得到OD=OA=OE,可得出点D在圆O上;

(2)由AD为角平分线,得到一对角相等,再由OD=OA,利用等边对等角得到一对角相等,等量代换得到一对内错角相等,利用内错角相等两直线平行得到ODAC平行,根据两直线平行同位角相等即可得到∠ODB为直角,即BCOD垂直,即可确定出BC为圆O的切线;

(3)过EEH垂直于BC,由ODAC平行,得到ACBODB相似,设OD=OA=OE=x,表示出OB,由相似得比例列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,确定出ODBE的长.

(1)连接OD,

∵△ADE是直角三角形,OA=OE,

OD=OA=OE,

∴点D在⊙O上;

(2)AD是∠BAC的角平分线,

∴∠CAD=DAB,

OD=OA,

∴∠OAD=ODA,

∴∠CAD=ODA,

ACOD,

∴∠C=ODB=90°,

BC是⊙O的切线;

(3)在RtACB中,AC=6,BC=8,

∴根据勾股定理得:AB=10,

OD=OA=OE=x,则OB=10﹣x,

ACOD,ACB∽△ODB,

OD=

解得:x=

OD=,BE=10﹣2x=10﹣=

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