Question

（本题满分10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：BC=AB；
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.

Answer 1

（1）PC是⊙O的切线，证明略。
（2）BC=AB，证明略。
（3）MC·MN=BM²=8

（本题满分10分）
解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO    
∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB            
∴∠A=∠ACO=∠PCB     ……………………………………………………1分
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACO+∠OCB=90°       …………………………………………………2分
∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP    …………………………………………3分
∵OC是⊙O的半径                    
∴PC是⊙O的切线         …………………………………………………4分
   （2）∵PC="AC " ∴∠A=∠P
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P   
∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB
∴∠CBO=∠COB                ……………………………………………5分
∴BC=OC
∴BC=AB            ………………………………………………………6分
       
(3)连接MA,MB                         
∵点M是弧AB的中点
∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM   ………7分    
∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM        
∵∠BMC=∠BMN
∴△MBN∽△MCB                  
∴  
∴BM²=MC·MN       ……………………8分
∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM
∴∠AMB=90°,AM=BM
∵AB="4 " ∴BM=   ………………………………………………………9分
∴MC·MN=BM²="8        " ……………………………………………………10分