Question

【题目】如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E．设BP=x，CE=y．

（1）求y与x的函数关系式；
（2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围；
（3）如图2，若m=4，将△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90°，求BP长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠APB+∠CPE=90°，∠CEP+∠CPE=90°，

∴∠APB=∠CEP，又∵∠B=∠C=90°，

∴△ABP∽△PCE，

∴ ，即 ，

∴y= x2+ x．

（2）

解：∵y= x2+ x= （x﹣ ）2+ ，

∴当x= 时，y取得最大值，最大值为 ．

∵点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，

∴ ≤1，解得m≤ ．

∴m的取值范围为：0＜m≤ ．

（3）

解：由折叠可知，PG=PC，EG=EC，∠GPE=∠CPE，

又∵∠GPE+∠APG=90°，∠CPE+∠APB=90°，

∴∠APG=∠APB．

∵∠BAG=90°，∴AG∥BC，

∴∠GAP=∠APB，

∴∠GAP=∠APG，

∴AG=PG=PC．

【解析】（1）证明△ABP∽△PCE，利用比例线段关系求出y与x的函数关系式；（2）根据（1）中求出的y与x的关系式，利用二次函数性质，求出其最大值，列不等式确定m的取值范围；（3）根据翻折的性质及已知条件，构造直角三角形，利用勾股定理求出BP的长度．解答中提供了三种解法，可认真体会．