题目内容

【题目】已知:如图,一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B,且与经过点C(2,0)的一次函数y=kx+b的图象相交于点D,点D的横坐标为4,直线CD与y轴相交于点E.

(1)直线CD的函数表达式为   ;(直接写出结果)

(2)点Q为线段DE上的一个动点,连接BQ.

若直线BQ将BDE的面积分为1:2两部分,试求点Q的坐标;

BQD沿着直线BQ翻折,使得点D恰好落在直线AB下方的坐标轴上,请直接写出点Q的坐标: .

【答案】(1)y=3x﹣6;(2),﹣2)或(,2);②存在,点Q的坐标为(3,3)或().

【解析】

(1)求出CD两点坐标即可解决问题;

(2)①分两种情形SBEQ=SBDESBEQ=SBDE分别构建方程即可;

分两种情形当点D落在x正半轴上(记为点D1)时,如图2当点D落在y负半轴上(记为点D2)时,如图3分别求解即可.

解:(1)由题意:D(4,6),C(2,0),

设直线CD的解析式为y=kx+b

则有

解得

直线CD的解析式为y=3x﹣6,

故答案为y=3x﹣6;

(2)①∵直线BQBDE的面积分为1:2两部分,

SBEQ=SBDESBEQ=SBDE

y=x+3中,当x=0时,y=3;当x=4时,y=6,

B(0,3),D(4,6).

y=3x﹣6中,当x=0时,y=﹣6,

E(0,﹣6),

BE=9,

如图1中,过点DDHy轴于点H,则DH=4,

SBDE=BEDH=×9×4=18,

SBEQ=×18=6SBEQ=×18=12,

Qt,3t﹣6),由题意知t>0,

过点QQMy轴于点M,则QM=t

×9×t=6×9×t=12,

解得t=

t=时,3t﹣6=﹣2,

t=3t﹣6=2,

Q的坐标为(,﹣2)或(,2);

当点D落在x正半轴上(记为点D1)时,如图2

由(2)知B(0,3),D(4,6),

BH=BO=3,

由翻折得BD=BD1

RtDHBRtD1OB中,

RtDHBRtD1OB(HL),

∴∠DBH=∠D1BO

由翻折得DBQ=∠D1BQ

∴∠HBQ=∠OBQ=90°,

BQx

Q的纵坐标为3,

y=3x﹣6中,当y=3时,x=3,

Q(3,3);

当点D落在y负半轴上(记为点D2)时,如图3

过点QQMBDQNOB,垂足分别为点MN

由翻折得DBQ=∠D2BQ

QM=QN

由(2)知SBDE=18,即SBQD+SBQE=18,

BDQM+BEQN=18,

由两点之间的距离公式,得BD==5,

×5QN+×9QN=18,

解得QN=

Q的横坐标为

y=3x﹣6中,当x=时,y=

Q).

综合知,点Q的坐标为(3,3)或().

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