题目内容

【题目】如图所示,BDABC的中线,CEBD于点E,AFBD,BD的延长线于点F.

(1)试探索BE,BFBD三者之间的数量关系并加以证明;

(2)连接AE,CF,求证:AECF.

【答案】(1) BE+BF=2BD,证明见解析;(2)证明见解析.

【解析】

(1)由已知条件易证△AFD≌△CED,由此可得DE=DF,这样结合BE=BD-DE,BF=BD+DF即可证得BE+BF=2BD;

(2)由(1)中所得△AFD≌△CED可得AD=CD,DE=DF,结合∠ADE=∠CDF即可证得△ADE≌△CDF,由此可得∠EAD=∠FCD,从而可得AE∥CF.

(1)BE+BF=2BD,理由如下

BDABC的中线,

AD=CD.

CEBDE,AFBDF,

∴∠F=CED=90°.

AFDCED中,

∴△AFD≌△CED,

DE=DF.

BE+BF=(BD-DE)+(BD+DF),

BE+BF=2BD;

(2)AFD≌△CED,

AD=CD,FD=ED,

又∵∠ADE=CDF.

∴△ADE≌△CDF,

∴∠EAD=FCD,

AECF.

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