题目内容
已知:如图①,在Rt△ACB中,∠C=90º,AC=6cm,BC=8cm,点P由B出发沿BC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s;点Q由A出发沿AB方向向点B匀速运动,速度为1cm/s;连接PQ.若设运动的时间为t(s)(0<t<4),解答下列问题:
(1)当t为何值时,PQ的垂直平分线经过点B?
(2)如图②,连接CQ.设△PQC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;
(3)如图②,是否存在某一时刻t,使线段C Q恰好把四边形ACPQ的面积分成1:2的两部分?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由.
(1)当t=时,PQ的垂直平分线经过点B;
(2);
(3)存在,当时,线段C Q恰好把四边形ACPQ的面积分成1:2的两部分.
解析试题分析:(1)用含有t的代数式表示PB和BQ,再根据线段垂直平分线上的点到线段两段点的距离相等即可;
(2)先证△BQH∽△BAC,再根据相似三角形的对应边成比例即可;
(3)分两种情况讨论:当S△AQC=2S△PQC时和当2S△AQC =S△PQC时,分别求出t的值.
试题解析:(1)在Rt△ABC中,AB=.
∵PQ的垂直平分线经过点B
∴PB=BQ
∵PB=2t,PQ=10-t,
∴2t=10-t
解得:t=
即:当t=时,PQ的垂直平分线经过点B;
(2) 如图①过点Q作QH⊥BC于H.
∵∠C=90°,
∴AC⊥BC,
∴QH∥AC,
∴△BQH∽△BAC,
∴,
∴,
∴,
∴.
(3)存在
如图②过点Q作QM⊥BC于M,QN⊥AC于N,
∵QM⊥BC于M,∠ACB=90°,
∴QM∥AC,
∴△BQM∽△BAC,
∴,
∴,
∴,
∵QN⊥AC于N,∠ACB=90°,
∴QN∥BC,
∴△AQN∽△ABC,
∴,
∴,
∴,
∵线段CQ恰好把四边形ACPQ的面积分成1:2的两部分,
∴S△AQC=2S△PQC或2S△AQC =S△PQC
当S△AQC=2S△PQC时,
∴
当2S△AQC =S△PQC时,
∴
综上可知:当时,线段C Q恰好把四边形ACPQ的面积分成1:2的两部分.
考点:三角形综合.
某商场经营某种品牌的玩具,购进时的单价是30元,根据市场调查:在一段时间内,销售单价是40元时,销售量是600件,而销售单价每涨1元,就会少售出10件玩具.
(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元(x > 40),请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元,并把结果填写在表格中:
销售单价(元) | x |
销售量y(件) | |
销售玩具获得利润w(元) | |
(3)在(1)条件下,若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元,且商场要完成不少于540件的销售任务,求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少?