题目内容
如图，在矩形ABCD中，已知AB=2，BC=3，点E为AD边上一动点（不与A、D重合），连接CE，作EF⊥CE交AB边于F（1）求证：△AEF∽△DCE；
（2）当△ECF∽△AEF时，求AF的长．
分析：（1）由在矩形ABCD中，EF⊥CE，根据等角的余角相等，可得∠AFE=∠DEC，又由∠A=∠D=90°，即可证得：△AEF∽△DCE；
（2）由△AEF∽△DCE，△ECF∽△AEF，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AF的长．
（2）由△AEF∽△DCE，△ECF∽△AEF，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AF的长．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
∵EF⊥CE，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
∴△AEF∽△DCE；
（2）解：∵△ECF∽△AEF，
∴
=
，
∵△AEF∽△DCE，
∴
=
，
∴AE=ED=
=
，
∵△AEF∽△DCE，
∴
=
，
即
=
，
∴AF=
．
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
∵EF⊥CE，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
∴△AEF∽△DCE；
（2）解：∵△ECF∽△AEF，
∴
| AF |
| AE |
| EF |
| EC |
∵△AEF∽△DCE，
∴
| AF |
| ED |
| EF |
| EC |
∴AE=ED=
| AD |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∵△AEF∽△DCE，
∴
| AF |
| AE |
| DE |
| DC |
即
| AF | ||
|
| ||
| 2 |
∴AF=
| 9 |
| 8 |
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
练习册系列答案
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．
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