题目内容
【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,FO⊥AB,垂足为点O,连接AF并延长交⊙O于点D,连接OD交BC于点E,∠B=30°,FO=2.
(1)求AC的长度;
(2)求图中阴影部分的面积.(计算结果保留根号)
【答案】(1)6;(2).
【解析】试题分析:(1)由∠BOF=90°,∠B=30°,得出FO=, OB=6,AB=2OB=12,由AB为⊙O的直径,得到∠ACB=90°,故AC=AB=6;
(2)先证Rt△ACF≌Rt△AOF,得出阴影部分的面积=△AOD的面积,求出三角形的面积即可.
试题解析:(1)∵OF⊥AB,∴∠BOF=90°,∵∠B=30°,FO=,∴OB=6,AB=2OB=12,又∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴AC=AB=6;
(2)∵由(1)可知,AB=12,∴AO=6,即AC=AO,在Rt△ACF和Rt△AOF中,∵AF=AF,AC=AO,∴Rt△ACF≌Rt△AOF,∴∠FAO=∠FAC=30°,∴∠DOB=60°,过点D作DG⊥AB于点G,∵OD=6,∴DG=,∴,即.
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