题目内容

【题目】在RTABC中,ACB=90°,以AC为直径作O交AB于点D,连接CD.

(1)求证:DCB=A;

(2)若M为线段BC上一点,试问点M在什么位置时,直线DM与O相切?并说明理由。

【答案】(1)证明见解析;(2)当MC=MD(或点M是BC的中点)时,直线DM与O相切.理由见解析.

【解析】

试题分析:(1)根据圆周角定理可得ADC=90°,再根据直角三角形的性质可得A+DCA=90°,再由DCB+ACD=90°,可得DCB=A;

(2)当MC=MD时,直线DM与O相切,连接DO,根据等等边对等角可得1=2,4=3,再根据ACB=90°可得1+3=90°,进而证得直线DM与O相切.

试题解析:(1)AC为直径,

∴∠ADC=90°

∴∠A+DCA=90°

∵∠ACB=90°

∴∠DCB+ACD=90°

∴∠DCB=A;

(2)当MC=MD(或点M是BC的中点)时,直线DM与O相切;

连接DO,

DO=CO,

∴∠1=2,

DM=CM,

∴∠4=3,

∵∠2+4=90°

∴∠1+3=90°

直线DM与O相切,

故当MC=MD(或点M是BC的中点)时,直线DM与O相切.

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