题目内容
【题目】在RT△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径作⊙O交AB于点D,连接CD.
(1)求证:∠DCB=∠A;
(2)若M为线段BC上一点,试问点M在什么位置时,直线DM与⊙O相切?并说明理由。
【答案】(1)证明见解析;(2)当MC=MD(或点M是BC的中点)时,直线DM与⊙O相切.理由见解析.
【解析】
试题分析:(1)根据圆周角定理可得∠ADC=90°,再根据直角三角形的性质可得∠A+∠DCA=90°,再由∠DCB+∠ACD=90°,可得∠DCB=∠A;
(2)当MC=MD时,直线DM与⊙O相切,连接DO,根据等等边对等角可得∠1=∠2,∠4=∠3,再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°,进而证得直线DM与⊙O相切.
试题解析:(1)∵AC为直径,
∴∠ADC=90°,
∴∠A+∠DCA=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠DCB+∠ACD=90°,
∴∠DCB=∠A;
(2)当MC=MD(或点M是BC的中点)时,直线DM与⊙O相切;
连接DO,
∵DO=CO,
∴∠1=∠2,
∵DM=CM,
∴∠4=∠3,
∵∠2+∠4=90°,
∴∠1+∠3=90°,
∴直线DM与⊙O相切,
故当MC=MD(或点M是BC的中点)时,直线DM与⊙O相切.
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