Question

如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，BC∥AD，CD∥AB．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）

Answer 1

（1）直线CD与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OD
∵OA=OD，∠DAB=45°，
∴∠ODA=45°
∴∠AOD=90°
∵CD∥AB
∴∠ODC=∠AOD=90°，即OD⊥CD
又∵点D在⊙O上，∴直线CD与⊙O相切；（4分）

（2）∵⊙O的半径为1，AB是⊙O的直径，
∴AB=2，
∵BC∥AD，CD∥AB
∴四边形ABCD是平行四边形
∴CD=AB=2
∴S_梯形OBCD=

(OB+CD)×OD

2

=

(1+2)×1

2

=

3

2

；
∴图中阴影部分的面积等于S_梯形OBCD-S_扇形OBD=

3

2

-

1

4

×π×1²=

3

2

-

π

4

．（8分）