Question

已知：直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C为x轴上一点，AC=1，且OC＜OA．抛物线经过点A、B、C．

（1）求该抛物线的表达式；
（2）点D的坐标为（-3，0），点P为线段AB上一点，当锐角∠PDO的正切值为时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，该抛物线上的一点E在x轴下方，当△ADE的面积等于四边形APCE的面积时，求点E的坐标．

Answer 1

（1）；（2）P（1，2）；（3）

试题分析：（1）先求得直线交x轴、y轴的交点A、B的坐标，即可求得点C的坐标，最后根据点A、B、C在抛物线上，即可求得结果；
（2）由锐角∠PDO的正切值为，得，即可证得△ABO∽△ADP，根据相似三角形的性质可得AP的长，过点P作于点F，可证PF∥BO，即可证得，从而求得结果；
（3）设点E的纵坐标为m（m＜0），根据三角形的面积公式可得，即可得到，由即可列方程求解.
（1）易得：A（2，0），B（0，4）
∵AC=1且OC＜OA 
∴点C在线段OA上
∴C（1，0）
∵A（2，0），B（0，4），C（1，0）在抛物线上，
∴，解得      
∴所求抛物线的表达式为；
（2）∵锐角∠PDO的正切值为，（为锐角）
∴，　
∵点P为线段AB上一点，
∴
∴△ABO∽△ADP
∴， 
又AO=2，AB=，AD=5
∴
过点P作于点F，可证PF∥BO，
∴
可得PF=2，即点P的纵坐标是2.
∴可得P（1，2）；
（3）设点E的纵坐标为m（m＜0）， 
∴
∵P（1，2），
∴
由得，解得 
∴点E ．
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．