Question

（本题满分10分）如图所示，过点F（0，1）的直线y＝kx＋b与抛物线y＝ x²交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）两点（其中x₁＜0，x₂＜0）．

（1）求b的值．

（2）求x₁•x₂的值

（3）分别过M、N作直线l：y＝－1的垂线，垂足分别是M₁、N₁，判断△M₁FN₁的形状，并证明你的结论．

（4） 对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1）把点F（0，1）坐标代入y=kx＋b中得b=1.        ……（1分）

（2）由y= x²和y=kx＋1得 x²-kx-1=0化简得

x₁=2k-2     x₂=2k＋2   x₁·x₂=-4               ……（3分）[

（3）△M₁FN₁是直角三角形（F点是直角顶点）.理由如下：设直线l与y轴的交点是F₁

FM₁²=FF₁²+M₁F₁²=x₁²＋4    FN₁²=FF₁²＋F₁N₁²=x₂²＋4

M₁N₁²=（x₁-x₂）²=x₁²+x₂²-2x₁x₂=x₁²+x₂²+8

∴FM₁²+FN₁²=M₁N₁²∴△M₁FN₁是以F点为直角顶点的直角三角形.    ……（6分）

（4）符合条件的定直线m即为直线l：y=-1.

过M作MH⊥NN₁于H，MN²=MH²+NH²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=（x₁-x₂）²+［（kx₁+1）-(kx₂+1)］²=（x₁-x₂）²+k²（x₁-x₂）²=(k²+1)（x₁-x₂）²=(k²+1)(4 ）²=16（k²+1)² 

∴MN=4(k²+1)

分别取MN和M₁N₁的中点P，P₁，

PP₁= （MM₁+NN₁）=  (y₁+1+y₂+1)= （y₁+y₂）+1= k(x₁+x₁)+2=2k²+2=2(k²+1)      ∴PP₁= MN

即线段MN的中点到直线l的距离等于MN长度的一半.

∴以MN为直径的圆与l相切.    ……（10分）

 

 

 

 

 【解析】略