Question

（1）如图1，△ABC中，AF平分∠BAC交BC于F，FD⊥AB于D，FE⊥AC于E，求证：AF垂直平分DE．
（2）如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，CD与BE相交于点O，判断∠AOD与∠AOE的数量关系，并证明；

Answer 1

分析：（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等求出FD=FE，然后利用HL定理证明△ADF和△AEF全等，再根据全等三角形对应边相等得到AD=AE，最后利用等腰三角形“三线合一”的性质可得AF垂直平分DE；
（2）过点A作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，推出△DAC≌△BAE，可知它们的面积相等，即可推出AM=AN，即可推出：∠AOD=∠AOE．

解答：证明：（1）∵AF平分∠BAC交BC于F，FD⊥AB于D，FE⊥AC于E，
∴FD=FE（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
在Rt△ADF和Rt△AEF中，

AF=AF DF=EF

，
∴Rt△ADF≌Rt△AEF（HL），
∴AD=AE（全等三角形对应边相等），
又∵AF平分∠BAC交BC于F，
∴AF垂直平分DE（等腰三角形三线合一）．

（2）∠AOD与∠AOE的数量关系为相等．
如图，过点A作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°．
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中

AD=AB ∠DAC=∠BAE AE=AC

，
∴△DAC≌△BAE（SAS）．
∴DC=BE，
∴S_△DAC=S_△BAE．
∵S_△DAC=

1

2

DC•AM=S_△BAE=

1

2

BE•AN，
∴AM=AN．
∴点A在∠DOE的角平分线上．
∴∠AOD=∠AOE．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解决此题的关键．