题目内容

如图，DE∥BC，FG∥AB，MN∥AC，且DE、FG、MN交于点P．若记S_△ABC=S，S_△PDM=S₁，S_△PEF=S₂，S_△PGN=S₃．请猜想：S与S₁、S₂、S₃之间存在怎样的关系？你能加以验证吗？

解：S与S₁、S₂、S₃之间存在关系： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
证明：∵FG∥AB，
∴△PDM∽△CBA，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
又∵DE∥BC，
∴四边形DPGB是平行四边形，
∴PD=BG，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
同理： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1
由△PDM∽△CBA得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴即 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：根据DE∥BC，FG∥AB，MN∥AC，求证△PDM∽△CBA，利用四边形DPBG是平行四边形得出PD=BG， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，进一步得出 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1，再利用相似三角形面积比是相似比的平方即可得出结论．
点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形面积的理解和掌握，利用相似三角形的相似比和平行四边形的性质得出 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1，这是此题的突破点，此题属于难题．