题目内容

已知:△ABD和△ACE都是直角三角形,且∠ABD=∠ACE=90°.如图甲,连接DE,设M为DE的中点.
(1)说明:MB=MC;
(2)设∠BAD=∠CAE,固定△ABD,让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置,试问:MB=MC是否还能成立?并证明其结论.
证明:(1)作点M作MP⊥AB于点P,
∵∠ABD=∠ACE=90°.
∴MPCEBD.
∵M为DE的中点,
∴CP=BP,
∴MP是BC的中垂线,
∴MB=MC;

(2)MB=MC成立.
取AD、AE的中点F、G,连接BF、MF、MG、CG显然线段MG、MF都是△ADE的中位线,
∴四边形MFAG是平行四边形,MG=
1
2
AD,MF=
1
2
AE,
∴∠MFA=∠AGM,
又∵∠DBA=∠ACE=90°,
∴Rt△斜边中线BF=
1
2
AD=MG,
CG=
1
2
AE=MF,
∵∠DAB=∠CAE,
∴∠BDA=∠CEA,
∴∠BFA=2∠BDA=2∠CEA=∠CGA,
∴∠BFM=∠BFA-∠MFA=∠CGA-∠AGM=∠MGC,
∴△BFM≌△MGC,
∴MB=MC.
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