Question

如图，已知矩形ABCD中，AB=4cm，AD=10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点．
（1）求证：EF+GH=5cm；
（2）求当∠APD=90°时，

EF

GH

的值．

Answer 1

分析：E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点，则EF，GH分别是△ABP，△DCP的中位线，得到EF+GH=

1

2

BC；
根据∠APD=90°，利用勾股定理得到AD²=AP²+DP²=AB²+BP²+PC²+DC²=BP²+（BC-BP）²+2AB²=BP²+（10-BP）²+32，就得到关于BP的方程，从而求出BP的长，因而根据中位线定理求出EF，GH的长，从而求出比值．

解答：（1）证明：∵矩形ABCD，AD=10cm，
∴BC=AD=10cm．
∵E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点，
∴EF+GH=

1

2

BP+

1

2

PC=

1

2

BC．
∴EF+GH=5cm．

（2）解：∵矩形ABCD，
∴∠B=∠C=90°，
又∵∠APD=90°，
在直角△APD中，AD²=AP²+DP²，
同理，AP²=AB²+BP²，PD²=PC²+CD²=PC²+AB²，
∴AD²=AP²+DP²=AB²+BP²+PC²+DC²=BP²+（BC-BP）²+2AB²=BP²+（10-BP）²+32，
即100=2BP²-20BP+100+32，
解得BP=2或8（cm），
当BP=2时，PC=8，EF=1，GH=4，这时

EF

GH

=

1

4

，
当BP=8时，PC=2，EF=4，GH=1，这时

EF

GH

=4，
∴

EF

GH

的值为

1

4

或4．

点评：本题主要考查了三角形的中位线定理．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．