Question

如图，AB和CD都是⊙O的直径，E为OB的中点，若AB=4，AC=2

3

．
（1）求证：△OBC为正三角形；
（2）求

BC

的长度；
（3）求图中阴影部分的面积．（面积结果保留3个有效数字）

Answer 1

分析：（1）由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，再根据AB=4，AC=2

3

，可得sinB=

3

2

，则∠B=60°，即可得到△OBC为正三角形；
（2）直接根据扇形的面积公式：S=

nπR2

360

计算即可；
（3）过D作DF⊥AB，F为垂足，连DB，则DF=OD•sin60°=2×

3

2

=

3

，而E为OB的中点，所以OE=1，得到S_△DOE=

1

2

×OE×DF=

1

2

×1×

3

=

3

2

，所以S_阴影部分=S_扇形ODB-S_△DOE，扇形的面积根据S=

nπR2

360

计算．

解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵AB=4，AC=2

3

，
∴sinB=

2 3

4

=

3

2

，
∴∠B=60°，
而OB=OC，
所以△OBC为正三角形；

（2）解：∵直径AB=4，
∴OB=2，
又∵∠BOC=60°，
∴

BC

的长度=

60π×2

180

=

2π

3

；

（3）解：过D作DF⊥AB，F为垂足，连DB，如图，
∵∠BOC=60°，
∴∠AOD=60°，∠BOD=120°，
∴DF=OD•sin60°=2×

3

2

=

3

，而E为OB的中点，所以OE=1，
∴S_△DOE=

1

2

×OE×DF=

1

2

×1×

3

=

3

2

，
∴S_阴影部分=S_扇形ODB-S_△DOE=

120π×22

360

-

3

2

=

4π

3

-

3

2

≈3.32．

点评：本题考查了扇形的面积公式：S=

nπR2

360

，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径），或S=

1

2

lR，l为扇形的弧长，R为半径．同时也考查了三角函数的知识以及等边三角形的判定、三角形的面积公式．