Question

已知：如图，四边形ABCD为正方形，以AB为直径的半圆O₁和以O₁C为直径的⊙O₂交于点F，连CF并延长交AD于点H，FE⊥AB于点E，BG⊥CH于点G．
（1）求证：BC=AE+BG；
（2）连AF，当正方形ABCD的边长为6时，求四边形ABGF的面积．

Answer 1

分析：（1）连O₁F、BF，利用全等三角形的判定方法可得到，△BGF≌△BEF，再根据全等三角形的性质得到BG=BE从而可得到所求的结论．
（2）连O₁H，根据正方形的性质及平行线的性质求得AE等线段的值，再根据三角形的面积公式即可求得四边形ABGF的面积．

解答：（1）证明：连O₁F、BF
∵O₁C为⊙O₂的直径
∴O₁F⊥CH
∴CF为⊙O₁的切线（1分）
∵∠ABC=90°
∴BC为⊙O₁的切线
∴CB=CF
∴∠BFC=∠FBC
∵EF⊥AB
∴EF∥BC
∴∠EFB=∠FBC=∠BFC（2分）
又∵∠BGF=∠BEF=90°，BF=BF
∴△BGF≌△BEF
∴BG=BE
∴BG+AE=BE+AE=AB
∵正方形ABCD
∴BC=AB=BG+AE（3分）

（2）解：∵正方形ABCD的边长为6
∴BC=6，AO₁=BO₁=3
又∵BC、CF为⊙O₁的切线
∴BC=CF，∠BCO₁=∠FCO₁∴CO₁⊥BF，
∵∠O₁BC=90°
∴∠O₁BF=∠O₁CB（4分）
∵∠O₁BC=∠AFB=90°
∴△O₁BC∽△AFB（5分）
∴

AF

FB

=

O1B

BC

=

1

2

∵在Rt△AFB中，AB=6
∴AF=

6

5

5

，BF=

12

5

5

（6分）
在Rt△AFB中，EF⊥AB
∴AE=

6

5

（7分）
∴BE=

24

5

∴EF=

12

5

（8分）
∴S_△AEF=

36

25

，S_△BEF=S_△BFG=

144

25

∴S_{四边形AFGB}=

324

25

（10分）．

点评：此题主要考查了圆的切线长定理，充分利用切线构造全等条件证明全等三角形，然后利用全等三角形的性质和正方形的性质解决问题．