题目内容

【题目】如图:在等腰直角三角形中,AB=AC,点D是斜边BC上的中点,点E、F分别为AB,AC上的点,且DE⊥DF。(1)若设,满足.

(1)求BE及CF的长。

(2)求证:

(3)(1)的条件下,求△DEF的面积。

【答案】(1)BE=12,CF=5;(2)证明见解析;(3)

【解析】

试题分析:(1)先根据二次根式的非负性求出m=2,再由非负数的性质求出a、b的值,进而得到BE及CF的长;

(2)延长ED到P,使DP=DE,连接FP,CP,利用SAS得到三角形BED与三角形CPD全等,利用全等三角形对应边相等得到BE=CP,再利用SAS得到EDF和PDF全等,利用全等三角形对应边相等得到EF=FP,利用等角的余角相等得到FCP为直角,在直角三角形FCP中,利用勾股定理列出关系式,等量代换即可得证;

(3)连接AD,由AB=AC,且D为BC的中点,利用三线合一得到AD垂直于BC,AD为角平分线,再由三角形ABC为等腰直角三角形,得到一对角相等,利用同角的余角相等得到一对角相等,再由AD=CD,利用ASA得到三角形AED与三角形CFD全等,利用全等三角形对应边相等得到AE=CF=5,DE=DF,由AE+EB求出AB的长,即为AC的长,再由AC-CF求出AF的长,在直角三角形AEF中,利用勾股定理求出EF的长,再根据三角形DEF为等腰直角三角形求出DE与DF的长,即可确定出三角形DEF的面积.

试题解析:(1)由题意得

解得m=2,

+|b-5|=0,

所以a-12=0,b-5=0,

a=12,b=5,

即BE=12,CF=5;

(2)延长ED到P,使DP=DE,连接FP,CP,

BED和CPD中,

∴△BED≌△CPD(SAS),

BE=CP,B=CDP,

EDF和PDF中,

∴△EDF≌△PDF(SAS),

EF=FP,

∵∠B=DCP,A=90°

∴∠B+ACB=90°

∴∠ACB+DCP=90°,即FCP=90°

在RtFCP中,根据勾股定理得:CF2+CP2=PF2

BE=CP,PF=EF,

BE2+CF2=EF2

(3)连接AD,

∵△ABC为等腰直角三角形,D为BC的中点,

∴∠BAD=FCD=45°,AD=BD=CD,ADBC,

EDFD,

∴∠EDA+ADF=90°ADF+FDC=90°

∴∠EDA=FDC,

AED和CFD中,

∴△AED≌△CFD(ASA),

AE=CF=5,DE=DF,即EDF为等腰直角三角形,

AB=AE+EB=5+12=17,

AF=AC-FC=AB-CF=17-5=12,

在RtEAF中,根据勾股定理得:EF==13,

设DE=DF=x,

根据勾股定理得:x2+x2=132

解得:x=,即DE=DF=

则SDEF=DEDF=××=

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