题目内容
【题目】如图:在等腰直角三角形中,AB=AC,点D是斜边BC上的中点,点E、F分别为AB,AC上的点,且DE⊥DF。(1)若设,,满足.
(1)求BE及CF的长。
(2)求证:。
(3)在(1)的条件下,求△DEF的面积。
【答案】(1)BE=12,CF=5;(2)证明见解析;(3).
【解析】
试题分析:(1)先根据二次根式的非负性求出m=2,再由非负数的性质求出a、b的值,进而得到BE及CF的长;
(2)延长ED到P,使DP=DE,连接FP,CP,利用SAS得到三角形BED与三角形CPD全等,利用全等三角形对应边相等得到BE=CP,再利用SAS得到△EDF和△PDF全等,利用全等三角形对应边相等得到EF=FP,利用等角的余角相等得到∠FCP为直角,在直角三角形FCP中,利用勾股定理列出关系式,等量代换即可得证;
(3)连接AD,由AB=AC,且D为BC的中点,利用三线合一得到AD垂直于BC,AD为角平分线,再由三角形ABC为等腰直角三角形,得到一对角相等,利用同角的余角相等得到一对角相等,再由AD=CD,利用ASA得到三角形AED与三角形CFD全等,利用全等三角形对应边相等得到AE=CF=5,DE=DF,由AE+EB求出AB的长,即为AC的长,再由AC-CF求出AF的长,在直角三角形AEF中,利用勾股定理求出EF的长,再根据三角形DEF为等腰直角三角形求出DE与DF的长,即可确定出三角形DEF的面积.
试题解析:(1)由题意得,
解得m=2,
则+|b-5|=0,
所以a-12=0,b-5=0,
a=12,b=5,
即BE=12,CF=5;
(2)延长ED到P,使DP=DE,连接FP,CP,
在△BED和△CPD中,
,
∴△BED≌△CPD(SAS),
∴BE=CP,∠B=∠CDP,
在△EDF和△PDF中,
,
∴△EDF≌△PDF(SAS),
∴EF=FP,
∵∠B=∠DCP,∠A=90°,
∴∠B+∠ACB=90°,
∴∠ACB+∠DCP=90°,即∠FCP=90°,
在Rt△FCP中,根据勾股定理得:CF2+CP2=PF2,
∵BE=CP,PF=EF,
∴BE2+CF2=EF2;
(3)连接AD,
∵△ABC为等腰直角三角形,D为BC的中点,
∴∠BAD=∠FCD=45°,AD=BD=CD,AD⊥BC,
∵ED⊥FD,
∴∠EDA+∠ADF=90°,∠ADF+∠FDC=90°,
∴∠EDA=∠FDC,
在△AED和△CFD中,
,
∴△AED≌△CFD(ASA),
∴AE=CF=5,DE=DF,即△EDF为等腰直角三角形,
∴AB=AE+EB=5+12=17,
∴AF=AC-FC=AB-CF=17-5=12,
在Rt△EAF中,根据勾股定理得:EF==13,
设DE=DF=x,
根据勾股定理得:x2+x2=132,
解得:x=,即DE=DF=,
则S△DEF=DEDF=××=.