Question

如图，为线段上一动点，分别过点作，，连接．已知，，，设．

（1）用含的代数式表示的长；
（2）请问点满足什么条件时，的值最小？
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值．

Answer 1

（1）；（2）三点共线时；（3）13

试题分析：（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故可由勾股定理表示；
（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和大于第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．
（1）；
（2）当三点共线时，的值最小．
（3）如下图所示，作，过点作，过点作，使，．连结交于点，的长即为代数式的最小值．

过点作交的延长线于点，得矩形，
则，12．
所以，即的最小值为13．
点评：本题利用了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．