Question

如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°．
（1）尺规作图：在AC上求作一点P，使BP+PC=AB；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在已作的图形中，连接PB，以点P为圆心，PB长为半径画弧交AC的延长线于点E，若BC=2cm，求扇形PBE的面积．

Answer 1

分析：（1）由于△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由此可以得到∠ABC=∠ACB=72°，所以作∠ABC的平分线BP之后可以得到△ABP，△BPC它们都是等腰三角形，由此即可得到满足BP+PC=AB的P的点；
（2）根据（1）的结论知道BC=BP=AB，并且∠BPC=72°，然后利用扇形的面积公式即可求出扇形PBE的面积．

解答：解：（1）如图射线BD交AC于P，P即为所求；

（2）如图，根据作图得BP平分∠ABP=∠CBP，
而在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∴△PAB是等腰三角形，△BCP是等腰三角形，
∴AP=BP=BC=PE=2，∠BPC=72°，
∴S_扇形PBE=

72×π×22

360

=

4

5

π．

点评：此题主要考查了等腰三角形的特殊性质，特殊也考查了扇形面积的计算．