题目内容
【题目】如图,△ABC中,以BC为直径的圆交AB于点D,∠ACD=∠ABC.
(1)求证:CA是圆的切线;
(2)若点E是BC上一点,已知BE=6,tan∠ABC= ,tan∠AEC= ,求圆的直径.
【答案】
(1)证明:∵BC是直径,
∴∠BDC=90°,
∴∠ABC+∠DCB=90°,
∵∠ACD=∠ABC,
∴∠ACD+∠DCB=90°,
∴BC⊥CA,∴CA是圆的切线
(2)解:在Rt△AEC中,tan∠AEC= ,
∴ = ,
EC= AC,
在Rt△ABC中,tan∠ABC= ,
∴ = ,
BC= AC,
∵BC﹣EC=BE,BE=6,
∴ ,
解得:AC= ,
∴BC= × =10,
答:圆的直径是10
【解析】(1)根据圆周角定理BC得到∠BDC=90°,推出∠ACD+∠DCB=90°,即BC⊥CA,即可判断CA是圆的切线;(2)根据锐角三角函数的定义得到tan∠AEC= ,tan∠ABC= ,推出AC= EC,BC= AC,代入BC﹣EC=BE即可求出AC,进一步求出BC即可.
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