题目内容
【题目】如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥AD，E为CD上一点，连接AE交BD于点F，G为AF的中点，连接DG．
（1）如图1，若DG=DF=1，BF=3，求CD的长；
（2）如图2，连接BE，且BE=AD，∠AEB=90°，M、N分别为DG，BD上的点，且DM=BN，H为AB的中点，连接HM、HN，求证：∠MHN=∠AFB．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
（1）由垂直的定义得到∠ADB=90°，根据直角三角形的性质得到DG=GF，根据勾股定理即可得到结论；
（2）连接DH，HE，根据已知条件得到A，D，E，B四点共圆，根据圆周角定理得到∠DHE=2∠DAE，求得∠DGF=2∠DAE，推出∠GDH=∠HEG，根据等腰三角形的性质得到∠EAB=∠ABD，求得∠HBN=∠HDM，根据全等三角形的性质得到∠BHN=∠DHM，得到∠BHD=∠MHN，等量代换即可得到结论．
（1）∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∵G为AF的中点，
∴DG=GF，
∵DG=DF=1，
∴GF=DG=DF=1，
∴AF=2，
∵AD=
=
，
∵BF=3，
∴BD=4，
∴AB=
=，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=；
（2）连接DH，HE，
∵AD⊥BD，AE⊥BE，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∵H为AB的中点，
∴DH=BH=EH=AH=
AB，
∵∠ADB=∠AEB=90°，
∴A，D，E，B四点共圆，
∴∠DHE=2∠DAE，
∵AG=DG，
∴∠DGF=2∠DAE，
∴∠DGF=∠DHE，
∴∠GDH=∠HEG，
∵AD=BE，
∴∠EAB=∠ABD，
∵∠EAB=∠AEH，
∴∠HBN=∠AEH，
∴∠HBN=∠HDM，
在△HDM与△HBN中，
，
∴△HDM≌△HBN（SAS），
∴∠BHN=∠DHM，
∴∠BHD=∠MHN，
∵∠AFB=180°-∠BAF-∠ABF，
∠DHB=180°-∠HDB-∠HBD，
∴∠AFB=∠DHB，
∴∠MHN=∠AFB．
