Question

如图，在平面直角坐标系中，以点0′（-2，-3）为圆心，5为半径的圆交x轴于A、B两点，过点B作⊙O′的切线，交y轴于点C，过点0′作x轴的垂线MN，垂足为D，一条抛物线（对称轴与y轴平行）经过A、B两点，且顶点在直线BC上．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设抛物线与y轴交于点P，在抛物线上是否存在一点Q，使四边形DBPQ为平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）连接O′B
∵O′（-2，-3），MN过点O′且与x轴垂直
∴O′D=3，OD=2，AD=BD=

1

2

AB
∵⊙O′的半径为5
∴BD=AD=4
∴OA=6，OB=2
∴点A、B的坐标分别为（-6，0）、（2，0）
∵BC切⊙O′于B
∴O′B⊥BC
∴∠OBC+∠O′BD=90°
∵∠O′BD+∠BO′D=90°
∴∠OBC=∠BO′D
∵∠BOC=∠BDO′=90°
∴△BOC∽△O′DB
∴

OB

O′D

=

OC

BD

∴OC=

OB•BD

O′D

=

2×4

3

=

8

3

∴点C的坐标为（0，

8

3

）
设直线BC的解析式为y=kx+b
∴

b= 8 3 2k+b=0

解得

k=- 4 3 b= 8 3

∴直线BC的解析式为y=-

4

3

x+

8

3

；

（2）由圆和抛物线的对称性可知MN是抛物线的对称轴，
∴抛物线顶点的横坐标为-2
∵抛物线的顶点在直线y=-

4

3

x+

8

3

上
∴y=

16

3

即抛物线的顶点坐标为（-2，

16

3

）
设抛物线的解析式为y=a（x+6）（x-2）
得

16

3

=a（-2+6）（-2-2）
解得a=-

1

3

∴抛物线的解析式为y=-

1

3

（x+6）（x-2）=-

1

3

x²-

4

3

x+4；

（3）由（2）得抛物线与y轴的交点P的坐标为（0，4），
若四边形DBPQ是平行四边形，
则有BD∥PQ，BD=PQ，
∴点Q的纵坐标为4
∵BD=4
∴PQ=4
∴点Q的横坐标为-4
∴点Q的坐标为（-4，4）
∴当x=-4时，y=-

1

3

x²-

4

3

x+4=-

1

3

×16+

16

3

+4=4
∴点Q在抛物线上
∴在抛物线上存在一点Q（-4，4），使四边形DBPQ为平行四边形．