Question

【题目】如图，抛物线 的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．

（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．
（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线 的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式是
（2）解：∵ = ，
∴此抛物线顶点D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1
（3）解：存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，设点P的坐标为（1，y），分三种情况讨论：
①当PA=PD时 = ，
解得，y= ，
即点P的坐标为（1， ）；
②当DA=DP时， = ，
解得，y= ，
即点P的坐标为（1， ）或（1， ）；
③当AD=AP时， = ，
解得，y=±4，
即点P的坐标是（1，4）或（1，﹣4），当点P为（1，﹣4）时与点D重合，故不符合题意．
由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1， ）或（1， ）或（1， ）或（1，4）.
【解析】（1）根据题意得一个三元一次方程组，解之即可得抛物线解析式.
（2）根据（1）中得出的解析式，配成顶点式，从而得出顶点式和对称轴.
（3）存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，设点P的坐标为（1，y），分三种情况讨论：①当PA=PD时，②当DA=DP时，③当AD=AP时，根据两点间距离公式计算即可得出P点坐标.