题目内容

如图，在平面直角坐标系中有一点A（-1， $数学公式$ ），OA与x轴的负半轴OM的夹角∠AOM=60°，OB平分∠AOM，且OB=OA．
（1）若点A在反比例函数 $数学公式$ 的图象上，①求该反比例函数的解析式；②请说明点B一定也在该反比例函数的图象上；
（2）求△AOB的面积；
（3）设直线AB的解析式为y=ax+b，若 $数学公式$ ，则x的取值范围为______．

解：（1）①把点A（-1， $\text{[math]}$ ）代入 $\text{[math]}$ 中，∴ $\text{[math]}$ ．
即反比例函数的解析式为 $\text{[math]}$ ．
②作BC⊥OM于点C，作AD⊥OM于点D，
由题意知，OB=OA=2．
∵OB平分∠AOM，且∠AOM=60°，∴∠BOM=30°．
∴Rt△BOC中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
∴B（ $\text{[math]}$ ，1）．
把 $\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$ 中，得y=1．
∴点B一定也在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上．
（2）S_△AOB=S_梯形ABCD+S_△AOD-S_△BOC=1．
（3） $\text{[math]}$ 或-1＜x＜0．
分析：（1）①把A的坐标代入函数的解析式，即可求得函数的解析式；
②作BC⊥OM于点C，作AD⊥OM于点D，在直角△BOC中，利用三角函数即可求得BC、OC的长度，则B的坐标可以得到；
（2）根据S_△AOB=S_梯形ABCD+S_△AOD-S_△BOC即可求得△AOB的面积；
（3）根据函数的图象，若 $\text{[math]}$ ，即对于相同的x则值，y= $\text{[math]}$ 的图象在y=ax+b的图象的上边，根据图象即可直接写出结果．
点评：本题是反比例函数，直角三角形的面积的综合应用，正确求得反比例函数的解析式是关键．