Question

【题目】如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D，E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD，PE，DE．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若d＝|PD﹣PF|．请说明d是否为定值？若是定值，请求出其大小；若不是定值，请说明其变化规律？

（3）求出△PDE周长取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）d是定值，d＝|PD﹣PF|的定值为2；（3）．

【解析】

（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；

（2）首先表示出P，F点坐标，再利用两点之间距离公式得出PD，PF的长，进而求出即可；

（3）过E作EF⊥x轴，交抛物线于点P，求得C△PDE＝ED+PE+PD＝ED+PE+PF+2＝ED+2+（PE+PF），当P、E、F三点共线时，PE+PF最小；当P与A重合时，PE+PF最大；即可解答．

（1）∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，

∴C（0，8），A（﹣8，0），

设抛物线解析式为：y＝ax2+c，

则 ，

解得：

∴抛物线解析式为: ．

（2）设P（x，），则F（x，8），

则PF＝8-（）＝．

PD2＝x2+[6﹣（﹣+8）]2＝

∴，

∴

∴d＝|PD﹣PF|为定值2；

（3）如图，过点E作EF⊥x轴，交抛物线于点P，

由d＝|PD﹣PF|为定值2，

得C△PDE＝ED+PE+PD＝ED+PE+PF+2＝ED+2+（PE+PF），

又∵D（0，6），E（﹣4，0）

∴

∴

当PE和PF在同一直线时PE+PF最小，

得C△PDE最小值 ．

设P为抛物线AC上异于点A的任意一点，过P作PM∥x轴，交AB于点M，连接ME，如图2．

由于E是AO的中点，易证得ME≥PE（当点P接近点A时，在△PME中，显然∠MPE是钝角，故ME≥PE，与A重合时，等号成立），而ME≤AE+AM，

所以PE≤AE+AM．

所以当P与A重合时，PE+PF最大，

AE＝8﹣4＝4， ．

得C△PDE最大值＝．

∴