Question

附加题：
观察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
将以上三个等式两边分别相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）直接写出下列各式的计算结果：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

 

（2）猜想并写出：

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）．
（3）探究并解方程：

1

x(x+3)

+

1

(x+3)(x+6)

+

1

(x+6)(x+9)

=

3

2x+18

．

Answer 1

分析：（1）由等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，两边分别相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

，类比上面的做法得到答案；
（2）因

1

n

-

1

n-2

=

2

n(n+2)

，再由

1

n

-

1

n+1

=

1

n(n+1)

猜想出结论；
（3）由（2）的结论，可以推出

1

n(n+3)

=

1

3

（

1

n

-

1

n+3

），进一步解出方程．

解答：解：因为（1）

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
…

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
所以

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

，
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

，
=1-

1

n+1

，
=

n

n+1

；
（2）因为

1

n

-

1

n-2

=

2

n(n+2)

，
所以

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）；
（3）类比（2）的结论，可以得到，

1

n(n+3)

=

1

3

（

1

n

-

1

n+3

），
所以

1

x(x+3)

+

1

(x+3)(x+6)

+

1

(x+6)(x+9)

=

3

2x+18

，

1

3

（

1

x

-

1

x+3

+

1

x+3

-

1

x+6

+

1

x+6

-

1

x+9

）=

3

2x+18

，

3

x(x+9)

=

3

2x+18

，
解得x₁=-9，x₂=2，
经检验，x₁=-9是增根，x₂=2是原方程的根．

点评：解决此类问题，从特殊中找出一般情况，利用类比的思想进一步解决问题．