Question

已知：如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O与BC交于点D,DE⊥AB,垂足为E,ED的延长线与AC的延长线交于点F.

（1）求证：DE是⊙O的切线;
（2）若⊙O的半径为4,BE=2,求∠F的度数.

Answer 1

（1）证明见解析;（2）∠F=30°．

试题分析：（1）如图,连结OD．欲证DE是⊙O的切线,只需证得OD⊥ED;
（2）求出AE,证△AED∽△DEB,求出DE,解直角三角形求出∠B=60°=∠ACB,根据三角形外角性质求出即可．
试题解析：（1）如图,连接OD,AD．

∵AC是直径,
∴AD⊥BC,
又∵在△ABC中,AB=AC,
∴∠BAD=∠CAD,∠B=∠C,BD=CD,
∵AO=OC,
∴OD∥AB,
又∵DE⊥AB,
∴DE⊥OD,
∵OD为⊙O半径,
∴DE是⊙O的切线;
（2）∵⊙O的半径为4,AB=AC,
∴AC=AB=4+4=8,
∵BE=2,
∴AE=8﹣2=6,
∵DE⊥AB,AD⊥BC,
∴∠AED=∠BED=∠ADB=90°,
∴∠DAE+∠ADE+∠BDE=90°,
∴∠DAE=∠BDE,
∵∠AED=∠BED,
∴△AED∽△DEB,
∴,
∴,
解得：DE=2,
在Rt△BED中,tanB=,
∴∠B=60°,
∴∠CDF=∠EDB=30°,
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB=60°,
∴∠F=∠ACB﹣∠CDF=60°﹣30°=30°．