题目内容

如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(－3，0)、(0，3)．

(1)一次函数图像上的两点P、0在直线AB的同侧，且直线PQ与y轴交点的纵坐标大于3，若△PAB与△QAB的面积都等于3，求这个一次函数的解析式；

(2)二次函数的图像经过点A、B，其顶点C在x轴的上方且在直线PQ上，求这个二次函数的解析式；

(3)若使(2)中所确定的抛物线的开口方向不变，顶点C在直线PQ上运动，当点C运动到点时，抛物线在x轴上截得的线段长为6，求点的坐标．

答案：
解析：

　　解：(见模答图)

　　(1)由已知不妨设直线PQ与x轴、y轴的交点分别为P、Q，连结PB、QA．

　　∵S△QAB＝3，

　　即BQ·AO＝3．

　　而AO＝3，可求得BQ＝2．

　　∵直线PQ与y轴交点的纵坐标大于3，

　　∴点Q的坐标为(0，5)．

　　同样可求得PA＝2．

　　∵P、Q两点在直线AB的同侧，

　　∴点P的坐标为(－5，0)．

　　设直线PQ的解析式为y＝kx＋b，则有

　　

　　解得

　　因此所求一次函数的解析式为

　　y＝x＋5．

　　(2)设二次函数的解析式为

　　y＝ax2＋bx＋c．

　　∵二次函数的图像过A(－3，0)，B(0，3)两点，

　　∴

　　将②代入①，解得

　　b＝3a＋1．

　　于是二次函数的解析式为

　　y＝ax2＋(3a＋1)x＋3．

　　其顶点C的坐标为

　　(－，)．

　　∵点C在直线y＝x＋5上，

　　∴＝－＋5．

　　整理得9a2＋8a－1＝0．

　　解这个方程，得

　　a1＝，a2＝－1．

　　经检验，a1＝，a2＝－1都是原方程的根．

　　但抛物线的顶点C在x轴的上方，且过A、B两点，所以抛物线开口向下，因此将a＝舍去，取a＝－1．∴b＝－2．

　　∴所求二次函数的解析式为

　　 y＝－x2－2x＋3．

　　(3)[方法一]

　　设点的横坐标为m．由于在直线y＝x＋5上，可求出点的纵坐标为m＋5，即点的坐标为(m，m＋5)，则运动后以为顶点的抛物线的解析式为

　　y＝－(x－m)2＋m＋5．

　　设运动后的抛物线在对称轴右侧与x轴交点的横坐标为x0．由已知，有

　　x0＝m＋3．

　　即抛物线与x轴的一个交点的坐标为(m＋3，0)．

　　∴0＝－(m＋3－m)2＋m＋5．

　　解得m＝4．

　　∴m＋5＝9．

　　于是点的坐标为(4，9)．

　　[方法二]

　　同方法一求得以为顶点的抛物线的解析式为

　　y＝－(x－m)2＋m＋5，

　　即　　y＝－x2＋2mx－m2＋m＋5．

　　设这条抛物线与x轴的交点为(x1，0)、(x2，0)．

　　∴x1＋x2＝2m，x1·x2＝m2－m－5．

　　由已知|x1－x2|＝6，

　　则(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝36．

　　即(2m)2－4(m2－m－5)＝36．

　　解得m＝4．

　　∴m＋5＝9．

　　于是点的坐标为(4，9)．


练习册系列答案
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（24，0）
．
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（1）在图中画出线段OP′；
（2）求P′的坐标和
PP′
的长度．
如图，在直角坐标系中，O为原点．反比例函数y=
6
x
的图象经过第一象限的点A，点A的纵坐标是横坐标的
3
2
倍．
（1）求点A的坐标；
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6
x
的图象上，且点D在直线AC的右侧，作DE⊥x轴于点E，当△ABC与△CDE相似时，求点D的坐标．
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（1）△AOB的面积是
6
6
；
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（8052，0）
（8052，0）
．

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