题目内容

二次函数 $数学公式$ 的图象与x轴交于A、两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，且∠ACB=90°．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设计两种方案：作一条与y轴不重合，与△A BC两边相交的直线，使截得的三角形与△ABC相似，并且面积为△BOC面积的 $数学公式$ ，写出所截得的三角形三个顶点的坐标（注：设计的方案不必证明）．

解：（1）设A（x₁，0），B（X₂，0），则x₁x₂=-2（m-2），OA=-X₁，OB=x₂，
又C（0，m-2），则OC=m-2，

由△AOC∽△COB，得OC²=OA•OB=-x₁x₂，
即（m-2）²=2（m-2），又m-2＞0，
∴m=4，得y=- $\text{[math]}$ ；

（2）方案一：分别取OB，BC的中点O₁，C₁，连接O₁C₁，
可得△BO₁C₁三个顶点的坐标，B（4，0），O₁（2，0），C₁（2，1）
方案二：在AB上取AB₂=AC= $\text{[math]}$ ，在AC上取AO₂=AO=1，作直线O₂B₂，
可得△B₂O₂A三个顶点的坐标， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，A（-1，0）．
分析：（1）A、B、C三点坐标可用m的代数式表示，利用相似三角形性质建立含m的方程；
（2）通过特殊点，构造相似三角形基本图形，确定设计方案．
点评：此题主要考查了解函数与几何结合的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互助，把证明与计算相结合是解题的关键．