题目内容
【题目】问题探究
请在图
的正方形ABCD的对角线BD上作一点P，使
最小；
如图
，点P为矩形ABCD的对角线BD上一动点，
，
，点E为BC边的中点，请作一点P，使
最小，并求这个最小值；
问题解决
如图
，李师傅有一块边长为1000米的菱形采摘园ABCD，
米，BD为小路，BC的中点E为一水池，李师傅现在准备在小路BD上建一个游客临时休息纳凉室P，为了节省土地，使休息纳凉室P到水池E与大门C的距离之和最短，那么是否存在符合条件的点P？若存在，请作出点P的位置，并求出这个最短距离；若不存在，请说明理由．
【答案】解：
见解析
的最小值为3；
存在，且最短距离约为985米
【解析】
（1）利用两点之间线段最短，即可得出结论；
（2）先确定出点P的位置，再求出∠CBD=30°，进而判断出△BCC'是等边三角形，即可得出结论；
（3）先确定出点P的位置，再求出OA，OB，进而利用面积求出AH，最后用勾股定理即可得出结论．
解：如图
，连接AC交BD于点P，则点P就是所要求作的点，
理由：在BD上任取一点异于点P的点Q，连接AQ，CQ，
；
如图
，
作点C关于BD的对称点C'，连接EC'交BD于点P，连接C'P，
∵点C与点C'关于BD的对称点，
∴CP=C'P，
∴C'P+PE=C'P'+P'E=C'E，
在BD上任取异于点P的P'，连接P'E，P'C，C'P'，
∴C'P'+P'E=P'C+P'E＞C'E，
∴点P就是所要求作的点，EC'的长度PE+PC的最小值，
∵四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，
，
∵点C和点C'关于BD对称，
设CC'交BD于G，
∴BD是CC'的垂直平分线，连接BC'，
∴∠C'BD=∠CBD=30°，BC'=BC，
∴∠C'BC=60°，
∴△BCC'是等边三角形，
∵点E是BC的中点，
∴CE⊥BC，
，
，
即：的最小值为3；
存在，如图
，连接AE交BD于P，点P就是所要求作的点，AE的长度就是休息纳凉室P到水池E与大门C的距离之和最短的值，
，
四边形ABCD是菱形，
点C关于BD的对称点为A，连接AE，交BD于P，点P就是所要求作的点，
米，
米，
于Q，
米，
米，
过点A作
于H，
，
米，
在
中，根据勾股定理得，
米，
米，
在
中，
米，
即：存在点P，且最短距离约为985米．
