Question

【题目】如图，线段 是 的直径，弦 于点 ，点 是弧 上任意一点， ．

（1）求 的半径 的长度；
（2）求 ；
（3）直线 交直线 于点 ，直线 交 于点 ，连接 交 于点 ，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：连接OC，在Rt△COH中，

∵CH=4,OH=r-2,OC=r.

∴ （r-2）2+42=r2.

∴ r=5

（2）

解：∵弦CD与直径AB垂直，

∴ 弧AD=弧AC=弧CD.

∴ ∠AOC=∠COD.

∴∠CMD=∠COD.

∴ ∠CMD=∠AOC.

∴sin∠CMD=sin∠AOC.

在Rt△COH中，

∴sin∠AOC==.

∴sin∠CMD=.

（3）

解：连接AM，

∴∠AMB=90°.

在Rt△AMB中，

∴∠MAB+∠ABM=90°.

在Rt△EHB中，

∴∠E+∠ABM=90°.

∴∠MAB=∠E.

∵弧BM=弧BM,

∴∠MNB=∠MAB=∠E.

∵∠EHM=∠NHF.

∴△EHM∽△NHF

∴=.

∴HE.HF=HM.HN.

∵AB与MN交于点H，

∴HM.HN=HA.HB=HA.（2r-HA）=2×（10-2）=16.

∴HE.HF=16.

【解析】（1）连接OC，在Rt△COH中,根据勾股定理即可r.
（2）根据垂径定理即可得出弧AD=弧AC=弧CD；再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；得出 ∠CMD=∠AOC；在Rt△COH中，根据锐角三角函数定义即可得出答案.
（3）连接AM，则∠AMB=90°.在Rt△AMB中和Rt△EHB中，根据同角的余角相等即可∠MAB=∠E；再由三角形相似的判定和性质即可得HE.HF=HM.HN.
又由AB与MN交于点H，得出HM.HN=HA.HB=HA.（2r-HA）=2×（10-2）=16；从而求出HE.HF=16.
【考点精析】关于本题考查的余角和补角的特征和勾股定理的概念，需要了解互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正确答案．